「a^2＋b^2＋c^2＝292」を満たす自然数a,b,cを求めよ　シンプルなのにめちゃくちゃ難しい……　難関大学レベルの数学に挑戦！（7/8 ページ）

問題

模範解答

　292=4×73であるから、条件式の右辺を4で割った余りは0である。ゆえにa²+b²+c²を4で割った余りも0である必要がある。

　ここで、平方数（整数を2乗して得られる数）を4で割った余りは0か1のいずれかであるから、条件を満たすには a²,b²,c²ともに4で割った余りが0である必要がある。

　このことによりa,b,c は偶数であることが分かったため、a＝2a',b＝2b',c＝2c'（a',b',c' は整数） とおくことにする。これを条件式に代入して、両辺4で割るとa'²＋b'²＋c'²＝73を得る。

　この等式に対しても先ほどと同様に4で割った余りを両辺で比較することで答えを求めていく。73＝4×18＋1であるから右辺を4で割った余りは1である。a'²,b'²,c'²を4で割った余りが、それぞれ1,0,0であるとする。

　条件よりa'は1以上の奇数であり、「9²＝81＞73」であることから、a'は1,3,5,7のうちのいずれかであることが分かる。これによって、b'²+c'²は72,64,48,24のいずれかであることが分かり、実際に計算をするとa＝2,b＝12,c＝12が得られる。

　また、a'²,b'²,c'²を4で割った余りが、それぞれ0,1,0のときと0,0,1のときを同様に考えるとa＝12,b＝2,c＝12とa＝12,b＝12,c＝2も答えの1つであることが分かる。

　以上から、求める自然数a,b,cの組み合わせは（a,b,c）＝（2,12,12）、（12,2,12）、（12,12,2）となる。