「a^2＋b^2＋c^2＝292」を満たす自然数a,b,cを求めよ シンプルなのにめちゃくちゃ難しい…… 難関大学レベルの数学に挑戦！（8/8 ページ）

整数問題は奥が深い。

[PASS LABO，ねとらぼ]

解説

一見簡単そうだけど……

　まず、平方数を4で割った余りは必ず0か1になることを確かめてみましょう。整数を4で割った余りは0か1か2か3ですから、整数xは負でない整数yを使って4y,4y+1,4y+2,4y+3のうちのいずれかの形で表せます。それぞれを2乗した結果は以下です。

• （4y）²＝4²×y²＝16y²（4の倍数）
• （4y+1）²＝4²×y²+8y+1²＝4z+1（4y²+2y＝zとおいた）
• （4y+2）²＝4²×y²+16y+2²＝4z（4y²+4y+1＝zとおいた）
• （4y+3）²＝4²×y²+24y+3²＝4z+1（4y²+6y+2＝zとおいた）

　よって、yは負でない整数ですから平方数を4で割った余りは必ず0か1になることが示せました。

　そしてここからはやや応用的な内容ですが、最後の「実際に計算をすると」とお茶を濁したような記述について触れておきます。まずは、本当に「実際に計算」して考えてみましょう。

　a'が奇数のとき、b'²+c'²は72,64,48,24と4の倍数になりますから、b'とc'は偶数になります。よって、b'＝2m、c'＝2n（m,nは整数）とおくと、b'²+c'²は「4m²＋4n²」となるので、m²＋n²は72,64,48,24をそれぞれ4で割った18,16,12,6となります。

　そこからは、それぞれについて「m＝1,2,3……」といれて確かめていけばOK。すると、当てはまるmとnの値はm²＋n²＝72のときの（m,n）＝（3,3）のみだと分かります。

　よって、そのとき（b',c'）＝（6,6）となり、（a',b',c'）＝（1,6,6）となるというわけ……ですが、これは答えではないですよね。求めるのは自然数a,b,cの組み合わせですから、しっかりとa＝2a',b＝2b',c＝2c'まで戻す必要があります。

　ということで、答えは（a,b,c）＝（2,12,12）……とここでも安心してはいけません。これはa'²,b'²,c'²を4で割った余りがそれぞれ1,0,0のときの計算でしたね。同じように0.1.0のとき、1,0,0のときと3通り出して、ようやく答えが導き出せるというわけです。

　さて、このようにbの範囲を絞って本当に「実際に計算」をしてみてもいいのですが、それだと少し時間がかかってしまいます。しかし、ある性質を使うと計算がもっと簡単になるのです。

　一般に、素因数分解して（平方数）×k の形にしたとき、“kを4で割ったときの余りが3にならない自然数”が、平方数の和（a²+b²）で表されることが知られています。

　その性質を用いて条件に適するかどうかを判断すれば、そんなに時間をかけずに検証できるというわけですね。このことの証明は難しいので解説は省略しますが、興味のある方はぜひ調べてみてください。「フェルマーの二平方和定理」と呼ばれるものの周辺のお話です。

【2023年11月18日訂正】一部の係数と指数に誤りがあったため、本文を修正しました。おわびして訂正いたします。

この問題の解説動画

PASS LABOの大学受験数学問題

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