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2023年11月29日

「a^2＋b^2＋c^2＝2020」を満たす自然数a,b,cを求めよ　シンプルなのにめちゃくちゃ難しい……　難関大学レベルの数学に挑戦！（8/8 ページ）

数学は奥が深い。

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$PASS LABO 大学受験数学　東京大学（東大）　京都大学（京大）　一橋大学　整数問題$ 一見簡単そうだけど……

大きい数字は素因数分解

　条件式の右辺は2020という大きい数字なので、このままではなかなか絞ることができません。そこで、まずは素因数分解をして簡略化できないか考えてみましょう。

2020＝2×1010＝2×2×505＝2×2×5×101

　以上より、2020は偶数であり、4の倍数であることが分かりました。次は、左辺の性質について考えてみます。

平方数の余りは特徴的

　平方数の余りというものは特徴的です。なかでも、平方数を3で割った余りと4で割った余りは使い勝手がいいものなので、仕組みも含めて理解するようにしておきましょう。

平方数を3で割った余りは「0か1」

【証明】整数xについて「x＝3y」「x＝3y＋1」「x＝3y＋2」（yは負でない整数）とすると、x²は次のようになります。

（3y）²＝3²×y²＝3z （3y²＝zとおいた）
（3y+1）²＝3²×y²+6y+1²＝3z+1（3y²+2y＝zとおいた）
（3y+2）²＝3²×y²+12y+2²＝3z+1（3y²+4y+1＝zとおいた）

　以上のように、ある整数xを3で割った余りは0か1になります。

平方数を4で割った余りは「0か1」

【証明】整数xについて「x＝4y」「x＝4y＋1」「x＝4y＋2」「x＝4y＋3」（yは負でない整数）とすると、x²は次のようになります。

（4y）²＝4²×y²＝16y²（4の倍数）
（4y+1）²＝4²×y²+8y+1²＝4z+1（4y²+2y＝zとおいた）
（4y+2）²＝4²×y²+16y+2²＝4z（4y²+4y+1＝zとおいた）
（4y+3）²＝4²×y²+24y+3²＝4z+1（4y²+6y+2＝zとおいた）

　以上のように、ある整数xの2乗を4で割った余りは0か1になります。

　先述したように、2020は4の倍数なので、a²,b²,c²はそれぞれ4の倍数となります（どれか1つでも4で割った余りが1の場合、a²＋b²＋c²が4の倍数にならない）。

　よって、a＝2x,b＝2y,c＝2z（x,y,zはともに自然数）とおくと、条件式は「4x²＋4y²＋4z²＝4×505」すなわち「x²＋y²＋z²＝505」と変形できます。右辺の505は3で割ると「169余り1」となり、1余るので左辺もまた3で割ると1余ると分かります。

　整数の2乗を3で割った余りは0か1であるため、「x²＋y²＋z²」を3で割った余りが1になるためには、x²、y²、z²のいずれか2つの余りが0に、残り1つの余りが1になればよいということになりますから、xとyが3の倍数でzが3の倍数でないとすると、自然数p,q,rによってx＝3p,y＝3q,z＝3r±1と表すことができます。

　従って、条件式は「9p²＋9q²＋（3r±1）²＝505」すなわち「9（p²＋q²＋r²）±6r＝504」より、「3（p²＋q²＋r²）±2r＝168」と変形できます。

倍数は“積の形”（整数＝整数×整数）でチェック

　整数では、かけ算の形で表すことで倍数を示すという方法が有効です。

　「3（p²＋q²＋r²）±2r＝168」は「±2r＝3｛56－（p²＋q²＋r²）｝」と整理でき、「56－（p²＋q²＋r²）」は整数であることから右辺は3の倍数だと分かります。よって、左辺の「±2r」も3の倍数となり、rが3の倍数であることが導けるのです。

　ここでr＝3s（sは自然数）とすると、条件式はさらに「p²＋q²＋9s²±2s＝56」すなわち「9s²±2s＝56－p²－q²」と変形できます。

範囲を絞って代入

　整数では、「条件から範囲を絞る」ということもポイントの1つです。

　「9s²±2s＝56－p²－q²」の右辺は、p²とq²がともに自然数であることから、56以下の数となります。この範囲をもとに、左辺を考えてsの範囲を絞ってみましょう。

　sが3のとき、「9s²－2s＝81－6＝75」となり、56より大きくなってしまいます。そのため、どうやらsは3よりも小さい数字となりそうです。

　すると、sは自然数であることから自然と可能性は「s＝1,2」と絞られます。あとは、その2つをともに調べてみましょう。ただ、そのときは式を「p²＋q²＝56－（9s²±2s）」と変形した方が計算しやすそうです。

s＝1のとき

p²＋q²＝56－（9±2）より、

p²＋q²＝45 …… パターンA
p²＋q²＝49 …… パターンB

パターンAの場合

pの範囲は1≦p≦6。よって、pとq²の組み合わせは以下のようになる。

（p,q²）＝（1,44）,（2,41）,（3,36）,（4,29）,（5,20）,（6,9）

qは自然数なので適するのは（3,36）と（6,9）のとき。

よって、（p,q）＝（3,6）,（6,3）。

パターンBの場合

pの範囲は1≦p≦7。よって、pとq²の組み合わせは以下のようになる。

（p,q²）＝（1,48）,（2,45）,（3,40）,（4,33）,（5,24）,（6,13）,（7,0）

qは自然数なので適する組み合わせはない。

s＝2のとき

p²＋q²＝56－（36±4）より、

p²＋q²＝16 …… パターンC
p²＋q²＝24 …… パターンD

パターンCの場合

pの範囲は1≦p≦4。よって、pとq²の組み合わせは以下のようになる。

（p,q²）＝（1,15）,（2,12）,（3,7）,（4,0）

qは自然数なので適する組み合わせはない。

パターンBの場合

pの範囲は1≦p≦4。よって、pとq²の組み合わせは以下のようになる。

（p,q²）＝（1,23）,（2,20）,（3,15）,（4,8）

qは自然数なので適する組み合わせはない。

　従って、適するp,qの組み合わせは（p,q）＝（3,6）,（6,3）となります。

対称性と代入に注意！

　pとqの組み合わせがわかり、思わずほっとしてしまいそうですが、求めるのはa,b,cの組み合わせです。意外と見落としがちな点なので、「何を求めなければならないのか」については忘れないように意識しましょう。

　求めたp,qの組み合わせはs＝1のとき、すなわちr＝3のときの値でした。また、パターンAは「±2s」のうち、「＋2s」の場合でした。よって、x,y,zの組み合わせはx＝3p,y＝3q,z＝3r＋1より、（x,y,z）＝（9,18,10）,（18,9,10）となります。よって、a＝2x,b＝2y,c＝2zからa,b,cの組み合わせは（a,b,c）＝（18,36,20）,（36,18,20）となりそうです。

　ただし、ここで注意したいのは、途中で定めたx＝3p,y＝3q,z＝3r＋1という設定はあくまで仮に決めたものであるということ。つまり、「x＝3p＋1,y＝3q,z＝3r」「x＝3p,y＝3q＋1,z＝3r」の場合も同様に適するというわけです。

　よって、求めるa,b,cの組み合わせは（a,b,c）＝（18,36,20）,（36,18,20）,（20,18,36）,（20,36,18）,（18,20,36）,（36,20,18）の6通りとなります。