「a^2+b^2＝1224」となる自然数a,bを求めよ　シンプルなのにめちゃくちゃ難しい……　難関大学レベルの数学に挑戦！（8/8 ページ）

解説

　「a²+b²=1224」という式を見ると、式の変形などを使って絞り込みなどをしたくなります。しかし、「a²＝1224－b²」と変形しても、1224は平方数ではないので因数分解はできなさそうです。では、一体どうすればいいのか。ここでは「両辺の余りが一致する」という「＝（等号）」の性質を利用して解いていくことにしましょう。

　まずは、1224を素因数分解します。「1224＝2³×3²×17」より、1224は偶数であり、3の倍数であり、4の倍数であると分かります。ここでは3の倍数であるということを利用して3で割った余りについて考えていきましょう。なぜか「3」なのか。それは、整数の2乗を3で割った余りが非常に特徴的だからです。

　整数を3で割った余りは、0か1か2のいずれかになります。よって、自然数aは負でない整数kを用いて「3k,3k＋1,3k＋2」（k=0のときは3kは満たさない）と表せます。このとき、a²について計算してみましょう。

• a＝3kの場合：a²＝（3k）²＝3²×k²＝9k²＝3×3k²＝3m（3k²=mとおいた）
• a＝3k＋1の場合：a²＝（3k+1）²＝（3k）²＋2×3k×1＋1²＝9k²+6k+1＝3×（3k²＋2k）＋1＝3m+1（3k²+2k＝mとおいた）
• a＝3k＋2の場合：a²＝（3k+2）²＝（3k）²＋2×3k×2＋2²＝9k²+12k+4＝3×（3k²＋4k＋1）＋1＝3m+1（3k²+4k+1＝mとおいた）

　以上から、a²を3で割った余りは0または1になると分かりました。b²についても同様に3で割った余りは0または1になるので、左辺「a²+b²」の余りの組み合わせ（aを3で割った余り,bを3で割った余り）は次のようになります。

• （0,0）の場合：「a²+b²」を3で割った余りは0
• （0,1）（1,0）の場合：「a²+b²」を3で割った余りは1
• （1,1）の場合：「a²+b²」を3で割った余りは2

　よって、等号が成立するのは（0,0）すなわちaもbも3で割り切れる場合だと判明。「a＝3k,b＝3l」（k,lは自然数）とすると、式は次のようになります。

a²+b²＝1224
（3k）²+（3l）²＝1224
9k²+9l²＝9×2³×17
k²+l²＝136

　さて、ここで新たに「k²+l²＝136」という式が導かれたわけですが、ここからどう絞ればいいのでしょうか。

　136を素因数分解すると「136＝2³×17」となります。つまり、4の倍数ということですね。先ほどと同じように整数の2乗を4で割った余りを見ていくことにしましょう。

　整数を4で割った余りは0または1または2または3のいずれかになります。よって、自然数kは負でない整数pを使って「4s,4s＋1,4s＋2,4s＋3」（s＝0のとき4sは満たさない）と表せます。このとき、k²について計算したのが以下です。

• k＝4sの場合：k²＝（4s）²＝4²×s²＝16s²＝4×4s²＝3t（3s²=tとおいた）
• k＝4s＋1の場合：k²＝（4s+1）²＝（4s）²＋2×4s×1＋1²＝16s²+8s+1＝4×（4s²＋2s）＋1＝4t+1（4s²+2s＝tとおいた）
• k＝4s＋2の場合：k²＝（4s+2）²＝（4s）²＋2×4s×2＋2²＝16s²+16s+4＝4×（4s²＋4s＋1）＝4t（4s²+4s+1＝tとおいた）
• k＝4s＋3の場合：k²＝（4s+3）²＝（4s）²＋2×4s×3＋3²＝16s²+24s+9＝4×（4s²＋6k＋2）＋1＝4t+1（4s²＋6k＋2＝tとおいた）

　この結果をまとめると、kが「4t,4t＋2」のときk²は4で割り切れ、kが「4t＋1,4t＋3」のときk²は4で割った余りが1になると分かります。136は4の倍数なので、「4t,4t＋2」のときが適しているのですが、さらにこれをまとめると、要はkが偶数のとき等号が成立するのだと分かります。lについても同様です。

　したがって、「k＝2p,l＝2q」（p,qは自然数）と置くと、式は次のようになります。

k²+l²＝136
（2p）²+（2q）²＝136
4p²+4q²＝4×2×17
p²+q²＝34

　最後に新たに導かれた式「p²+q²＝34」から、pとqに当てはまる自然数を絞っていきましょう。「q²＝34－p²」と変形し「p＝1,2,3,4,……」と入れて調べると、q²の値は次のようになります。

• p＝1の場合：q²＝34－1²＝34－1＝33。これを満たす自然数qは存在しない
• p＝2の場合：q²＝34－2²＝34－4＝30。これを満たす自然数qは存在しない
• p＝3の場合：q²＝34－3²＝34－9＝25。よってq＝5
• p＝4の場合：q²＝34－4²＝34－16＝18。これを満たす自然数qは存在しない
• p＝5の場合：q²＝34－5²＝34－25＝9。よってq＝3
• p＝6の場合：p²＝6²＝となり、q²が負となるのでこれを満たす自然数qは存在しない。以降、pが7以上でも同じ

　以上から、条件を満たすのは「（p,q）＝（3,5）,（5,3）」だと分かります。これをさかのぼって代入していくと、「k＝2p,l＝2q」より「（k,l）＝（6,10）,（10,6）」となり、「a＝3k,b＝3l」より答えは「（a,b）＝（18,30）,（30,18）」となります。

　

　

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