実数a,bが「a^2＋b^2＝2（a+b）」を満たすとき、「a^3＋b^3」の取りうる値の範囲を求めよ　シンプルなのにめちゃくちゃ難しい……　難関大学レベルの数学に挑戦！

問題

一見簡単そうだけど……

模範解答

　条件式は（a+b）²−2ab＝2（a+b）と変形できる。

　s＝a＋b,t＝abとおくと、t＝1/2s²−sである。一方でa³＋b³＝（a+b）³-3ab（a+b）＝s³−3st＝−1/2s³＋3s²である。

　また、解と係数の関係によってa,b は x²−sx+t＝0 の2つの実数解である。

　条件を満たす実数a,bが存在する条件は上の2次方程式が実数解をもつ条件と一致するから、判別式Dが0以上であることから0≦s≦4である。

　この範囲で、上の3次関数の取りうる値の範囲を求めると0≦a³+b³≦16。