青い部分の角度の和を求めよ　中2なら秒で分かるかもしれないクイズ【数学・星形七角形編】（2/2 ページ）

大人になって解いてみると、意外と難しい。

[石関隆景，ねとらぼ]

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問題

「な、なんだこれは……」（イラスト：野田せいぞ）

答え

答えは「540度」でした！

【解説】こうした星形七角形の問題は、内側の七角形HIJKLMN（以下、七角形）に注目し、「三角形の内角の和は180度」と「多角形の外角の和は360度」という2つの性質を使って考えます。

　七角形の外側には三角形AHNのような三角形が計7個あります。よって、これらの三角形の内角の和は「180×7」度となります（計算はしないでいったんこのままにしておくと楽）。続いて、この7つの三角形の角のうち、青角以外の和について考えていきましょう。

赤い点と緑の点が大事（図1）

　角AHN、角BIH、角CJI……というように三角形の右角（赤い丸、図2参照）を全て足してみます。すると、これは七角形の外角の和になるんですね。同じように角ANH、角GMN、角FLM……と三角形の左角（緑の丸、図3参照）を足していくと、同じく七角形の外角の和となります。

赤い点は全て七角形の外角（図2）

緑の点も全て七角形の外角（図3）

　外角の和はどんな多角形でも必ず360度になるので（関連記事）、7個の三角形のうち青角以外の角の和は「360×2＝180×4」度になります。ですから、「（青角の和）＝（7個の三角形の和）－（7個の三角形のうち青角以外の角の和）」なので、答えは「180×7－180×4＝180×（7－4）＝180×3＝540」度となるというわけです。