1辺の長さが6センチの正三角形の面積は？　中2なら秒で分かるかもしれないクイズ【番外編・中3数学】（2/2 ページ）

問題

答え

　正解は「9√3平方センチ」でした！

【解説】正三角形の面積は1辺の長さが分かれば求めることが出来ます。というのは、正三角形の性質から、1辺の長さが分かれば他の辺の長さも分かりますし、角も全部60度だということが分かっているからですね。

　まずは頂点Aから辺BCに対して垂直に線を下ろします。その垂線と辺BCの交点をDとすると、三角形ABD・三角形ACDのどちらも“30度、60度、90度の直角三角形”になることが分かります。ちなみに、三角形ABDと三角形ACDは斜辺の長さが同じ（AB＝AC＝6センチ）で、ADが共通している直角三角形なので合同です。よって、「BD＝CD＝3センチ」となります。

　続いて、辺BCに対する高さであるADの長さを求めたいので、直角三角形ABDについて三平方の定理を使うことにします。「AB＝6センチ」「BD＝3センチ」「AD＞0（辺の長さなので）」から、計算は以下のようになります。

AD²＋BD²＝AB²

AD²＋3²＝6²

AD²＋9＝36

AD²＝36－9

AD²＝27

AD＝√27＝√3²×3＝3√3（AD＞0より）

　これで高さが「3√3センチ」だと分かったので、正三角形ABCの面積は「6×3√3÷2＝9√3」平方センチになります。ちなみに、直角三角形の3辺の比は「BD：AB：AD＝1：2：√3」となるわけですが、このことから“30度、60度、90度の直角三角形”の3辺の比が「1：2：√3」になるという有名な性質も導けます。

　さらに、そこから1辺の長さがaの正三角形の高さは「（a/2）×√3」になることが分かるので、正三角形の面積を求める公式として「a×（a/2）×√3×（1/2）＝（√3/4）a²」も導くことができたりします（「√3/4」は「4分のルート3」）。これを使うと、今回の問題も「（√3/4）×6²＝（√3/4）×36＝9√3（平方センチ）」と一瞬で計算できたわけですね。

　

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