「a^2＋b^2＋c^2＝2020」を満たす自然数a,b,cを求めよ　シンプルなのにめちゃくちゃ難しい……　難関大学レベルの数学に挑戦！（7/8 ページ）

問題

模範解答

　条件式の右辺2020を4で割った余りは0だから、条件式の左辺を4で割った余りも0である。平方数（整数を2乗して得られる数）を4で割った余りは0か1のどちらかであることを考えれば、a,b,c いずれも偶数であることが必要であることがわかる。

　ここで、a＝2x,b＝2y,c＝2zとおくと、条件式は「x²＋y²＋z²＝505」と変形できる。これを新しい条件式として先ほどと同様に両辺を余りで比較する。

　今度は両辺を3で割った余りで比較することにすると、右辺505を3で割った余りは1であることにより、左辺を3で割った余りも1になる必要がある。平方数を3で割った余りは0か1のいずれかであることにより、x²,y²,z²のうちちょうど1つだけ3で割った余りが1で、その他の2つは3で割った余りが0になることが必要である。

　いま、zを3で割った余りが1であるとすると、整数p,q,rを用いてx＝3p,y＝3q,z＝3r±1と書ける。これを条件式に代入して整理すると±2r＝3{56－（p²＋q²＋r²）}を得る。

　この式からrは3の倍数であることがわかるから、r＝3sとおいて代入し計算すると9s²±2s=56-p²-q²となり、これを満たすsは0か1のみであることが簡単な計算からわかるから、それぞれの場合について検証すると、（x,y,z）＝（9,18,10）,（18,9,10）であることがわかり、これによって（a,b,c）＝（18,36,20）,（36,18,20）であることがわかる。

　x,yを3で割った余りが1であるときのこともあわせて、求める答えは（a,b,c）=（18,36,20）,（36,18,20）,（18,20,36）,（36,20,18）,（20,18,36）,（20,36,18）の6つ。