EchofonやAndroidの公式アプリなどが使えなくなっているようです。※現在は復旧
12月29日の午前9時ごろから、一部環境でTwitterにログインできない不具合が発生しているようです。Twitter公式アカウント(@TwitterJP)によると、現在担当チームが対応中とのこと。
不具合が発生しているのは、Android用公式アプリや、iPhoneアプリ「Echofon」など一部のアプリ・環境。ブラウザ版TwitterやTweetDeck、iPhone版公式アプリなどはいつもどおり使えているようです。

「Twitter」についてのつぶやき数推移(Yahoo!リアルタイム検索)。午前9時ごろから増え始め、10時には1万件を超える勢いに
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午前11時30分追記
PCブラウザ版も、ログインしようとすると一部「メンテナンス中です」と表示される場合があるもよう。

ログインしようとすると「現在メンテナンスのためダウン中です」の表示に(アカウントによってはログインできたとの報告も)
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午後2時追記
まだ環境によっては一部ログインできないケースがあるようですが、少しずつ復旧していきているようです。
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午後3時追記
Twitterのステータスページが更新され、それによると一部まだログインできないケースがあるものの、おおむね復旧したとのことです。原因はフロントエンドコードのバグでした。
公式サポートアカウントでも復旧を報告