コラム
» 2017年10月19日 11時00分 公開

小学生でもわかる「割り算で0で割ってはいけない」理由

小学生でもわかる考え方で説明してみました。

[QuizKnock,ねとらぼ]

 小学校の算数の授業で「1÷0=?」の答えをどのように習いましたか?

 1でしょうか? 0でしょうか? それとも「答えはない」?

 結論から言うと1や0ではありません。しかし、「答えがない」と言い切ってしまうわけにもいきません

いろいろな割り算の考え方

 まずは、基礎の復習から。割り算を理解するアプローチは、いくつかあります。

イメージから理解する

 「10÷5=?」という計算は「10個のりんごがあります。これを5人で分けたら、1人あたり何個のりんごがもらえますか」という文章題に置き換えることが可能です。

 このように、ストーリーに置き換えると計算の意味が理解しやすくなります。

引き算から理解する

 次は、引き算から理解する方法。「10÷5=?」を「10から5を何回引いたら、その数から5が引けなくなりますか」とする考え方です。

 電卓が開発される前に使用されていた手回し計算機は、実際にこのような仕組みで割り算を行っていました。

かけ算から理解する

 さらに、割り算の前に習うかけ算から理解することもできます。これは「10÷5=?」を「5×?=10となるとき、?に入る数はいくつですか」と理解するやり方です。

 上の2つが、余りの出る計算結果になるのに対し、この方法では分数を答えとして導くことができます

1÷0=?

 それでは、最初の「1÷0=?」という計算をこれらの方法で考えてみましょう。

イメージ

 「1個のりんごがあります。これを0人で分けたら、1人あたり何個のりんごがもらえますか

 あれ、そもそも人が存在しない!!

0人で分ける……?

 まったくわけの分からない問いになっており、問題文として成り立っていません

引き算

 「1から0を何回引いたら、その数から0が引けなくなりますか

 「1-0=?」の答えが1であることは、誰の目にも明らか。よって、この場合は「何回でも無限に引ける」ということになります。

 ちょっと視点を変えて、引き算を足し算に置き換えるとどうなるでしょうか。

 たとえば「10から5を何回引いたら、その数から5が引けなくなりますか」という問題は「5を何回足したら10になりますか」と同じです。この場合、「5+5=10」なので、「2」が答えになります。

 これを「1から0を何回引いたら、その数から0が引けなくなりますか」に当てはめると、「0を何回足したら1になりますか」と捉え直すことができます。

 当然、0に0を何回足しても1にはなりません。つまり、この計算は「不可能」です。

かけ算

 「0×?=1となるとき、?に入る数は何ですか

 そんな数は存在しません。かけ算として考えると「0を何倍したら1になりますか」と聞かれているわけですから、どう頑張っても「不可能」です。

 3パターンで考察したことで、「1÷0=?」という計算には解がない(不能)であることが分かりました。これが「0で割ることはできない」ということなのです。

「0÷0=?」は違う理由で答えが出せない

 さて、今度は別の式で0の割り算を考えてみましょう。

イメージ

 「0個のりんごがあります。これを0人で分けたら、1人あたり何個のりんごがもらえますか

どういう状況なんだ……

 意味が分からない文章題になってしまいました。「0÷0=?」も、この方法で考えるのはやめておきます。

引き算

 「0から何回0を引いたら、その数から0が引けなくなりますか

 「0-0=?」は当然、0です。答えは簡単に出ましたが、「0から0を引く」という考え方がアリなのか、ナシなのか怪しいところです。今回も足し算で考え直してみましょう。

 「0を何回足したら0になりますか

 「0+0=?」の答えは0。「0+0+0」も「0+0+0+0」も0です。

 つまり、0はいくら足しても0。何回と答えても正解なので、答えが1つに定まりません(不定)

かけ算

 「0×?=0となるとき、?に入る数はいくつですか

 「1×0=?」の答えは0。「2×0」も「3×0」も0です。先ほどと同じ論法で、これも不定となります。

まとめ

 数学らしく話をまとめると

  • a÷0のとき、a≠0であれば、答えは「不能」となる
  • a÷0のとき、a=0すなわち、0÷0であれば、答えは「不定」となる

 という結論になります。

 QuizKnock編集部には「小学校の授業で『1÷0=0』と習った」という人が実際にいました。子どもに説明するのはやや難しいところかもしれませんが、せっかく「÷0」の計算に触れるのであれば、誤解のないように教えてあげたいものです。

制作協力

QuizKnock


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