「a^2+b^2+c^2=292」を満たす自然数a,b,cを求めよ シンプルなのにめちゃくちゃ難しい…… 難関大学レベルの数学に挑戦!(8/8 ページ)
解説
まず、平方数を4で割った余りは必ず0か1になることを確かめてみましょう。整数を4で割った余りは0か1か2か3ですから、整数xは負でない整数yを使って4y,4y+1,4y+2,4y+3のうちのいずれかの形で表せます。それぞれを2乗した結果は以下です。
- (4y)2=42×y2=16y2(4の倍数)
- (4y+1)2=42×y2+8y+12=4z+1(4y2+2y=zとおいた)
- (4y+2)2=42×y2+16y+22=4z(4y2+4y+1=zとおいた)
- (4y+3)2=42×y2+24y+32=4z+1(4y2+6y+2=zとおいた)
よって、yは負でない整数ですから平方数を4で割った余りは必ず0か1になることが示せました。
そしてここからはやや応用的な内容ですが、最後の「実際に計算をすると」とお茶を濁したような記述について触れておきます。まずは、本当に「実際に計算」して考えてみましょう。
a'が奇数のとき、b'2+c'2は72,64,48,24と4の倍数になりますから、b'とc'は偶数になります。よって、b'=2m、c'=2n(m,nは整数)とおくと、b'2+c'2は「4m2+4n2」となるので、m2+n2は72,64,48,24をそれぞれ4で割った18,16,12,6となります。
そこからは、それぞれについて「m=1,2,3……」といれて確かめていけばOK。すると、当てはまるmとnの値はm2+n2=72のときの(m,n)=(3,3)のみだと分かります。
よって、そのとき(b',c')=(6,6)となり、(a',b',c')=(1,6,6)となるというわけ……ですが、これは答えではないですよね。求めるのは自然数a,b,cの組み合わせですから、しっかりとa=2a',b=2b',c=2c'まで戻す必要があります。
ということで、答えは(a,b,c)=(2,12,12)……とここでも安心してはいけません。これはa'2,b'2,c'2を4で割った余りがそれぞれ1,0,0のときの計算でしたね。同じように0.1.0のとき、1,0,0のときと3通り出して、ようやく答えが導き出せるというわけです。
さて、このようにbの範囲を絞って本当に「実際に計算」をしてみてもいいのですが、それだと少し時間がかかってしまいます。しかし、ある性質を使うと計算がもっと簡単になるのです。
一般に、素因数分解して(平方数)×k の形にしたとき、“kを4で割ったときの余りが3にならない自然数”が、平方数の和(a2+b2)で表されることが知られています。
その性質を用いて条件に適するかどうかを判断すれば、そんなに時間をかけずに検証できるというわけですね。このことの証明は難しいので解説は省略しますが、興味のある方はぜひ調べてみてください。「フェルマーの二平方和定理」と呼ばれるものの周辺のお話です。
【2023年11月18日訂正】一部の係数と指数に誤りがあったため、本文を修正しました。おわびして訂正いたします。
PASS LABOの大学受験数学問題
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