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» 2019年05月29日 12時00分 公開

「無理数」は何が無理なのか?

有理数と無理数の説明、できますか?

[QuizKnock,ねとらぼ]

 京大入試珍問ランキングを作ったら、絶対にトップ5に入るであろう問題がある。


tan1°は有理数か。

[06 京都大(後期)]


 タンジェント1°が有理数かどうかを示し、それを証明する問題だ。問題文は本当にこれだけで補足などは一切なく、当時の受験生は面食らったことだろう。

 これを証明するには、問題文に出てくる「有理数」のことを正しく理解していなければいけない。

 では、有理数ってなんだ?


「有理数」=「分数の形で表せる数」

 「2つの整数a, bを用いてb/aの形で表せる数」を総称して有理数という。


<整数>

 例えば1, 2, 3, ...と続く整数は、いずれも1/1, 2/1, 3/1, ...と表せるので有理数である。


<有限小数>

 また、有限小数(桁の数が有限個な小数)はすべて分数の形で表せるので有理数。



 例えば3.46という小数は、3.46=346/100=173/50となり、分数で表せる。


<循環小数>

 さらに、循環小数(同じ並びが繰り返される小数)もすべて有理数。



 例えば3.464646…という小数は、これをaとおけば、

100a = 346.464646… (1)

a = 3.464646… (2)

(1)から(2)を引いて99a = 343, a=343/99

 と変形できて、3.464646...=343/99となる。


有理数ではない数は「無理数」

 何だどれも有理数じゃないか、と思うかもしれないが、有理数でない数も存在する。このような数を無理数という。むしろ無理数のほうが数としては多いのだ。

 無理数で一番分かりやすいのが2の正の平方根、√2。√2は1.41421356...と小数で表せるが、循環はしない。無理数を小数で表すと必ず非循環小数になるし、逆に非循環小数ならばそれは無理数だ。例えば円周率ネイピア数(自然対数の底)も無理数である。

 √2が無理数であることの証明は、証明法の1つ・背理法の代表例としてよく知られている。



 冒頭の入試問題も√2と同じように、tan1°を有理数と仮定することで背理法で証明できる。数学力をつけたい人は一度挑戦してみるべし。


なぜ「無理」数?

 無理数は何が「無理」なのだろう。

 英語では、有理数がrational number、無理数がirrational number。rationalを辞書で引くと「合理的な」という意味があるが、ここでは「比(ratio)の」という意味

 ところが日本語に訳す際、rationalを「合理的な」の意味でとって「有理数」とした。その対義語だから「無理数」となるが、そうしたら無理=impossibleみたいになって……と、要するに何も無理ではないのである。

 用語を誤解なく訳すのは結構大変なのだ。

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QuizKnock


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