xの角度を求めよ！　五等辺六角形の角度を求める問題の“パズル的”な解法が目からうろこ（3/3 ページ）

» 2022年10月16日 11時00分公開

問題：xの角度を求めよ。

答え

　答えは「105度」でした！

解説

　このような問題は画像を見るのが分かりやすいですが、しっかりとした説明を読みたい人向けに、文章でも解説を加えていきたいと思います。

　まずは、条件を整理しましょう。角xを作る頂点をAとして反時計回りにB～Fまで記号を振ります。次に、辺DEを底辺とした正三角形ODEを作り、AとBからOに向かって補助線を引きます。この時、問題の条件から、「BC＝CD＝DE＝EF＝FA」「角BCD＝100度、角CDE＝140度、角DEF＝110度、角EFA＝130度」と表せます。

※C´は半直線DC（Dを起点に辺CDをCの方向に延長した直線）上において、点Cを基準としたときDとは反対方向にある任意の点です。F´についても考え方は同様なので説明は割愛。

補助線の引き方（アルファベットや補助線などは編集部で追加）

　正三角形の1つの角は60度なので「角OEF＝角DEF－角OED＝110－60＝50（度）」となり、「角AFF´＝180－角AFE＝180－130＝50（度）」なので、「角OEF＝角AFF´＝50（度）」が成立。同位角の関係にあるこの2角の大きさが等しいことから、「OE//AF（「//」は辺OEと辺AFが平行だということを示す）」と分かります。

同位角が等しいため「OE//AF」「BC//OD」（青の角度を追加）

　さらに、問題の条件と三角形ODEが正三角形であることから「OE＝DE＝AF」すなわち「OE＝AF」。よって、「OE//AF」と「OE＝AF」から、1組の対辺が平行でその長さが等しいので、四角形AOEFは平行四辺形だと分かります。また、「EF＝FA」と隣り合う辺が等しいため、四角形AOEFは平行四辺形の中でも全ての辺が等しい「ひし形」となります。

四角形AOEF、四角形BCDOはひし形（「AO＝BO」を追加）

　同様に考えると、四角形BCDOもひし形となり、その性質から次の2つの条件が導けます。

ひし形（平行四辺形）の対角は等しいので、ひし形AOEFにおいて「角AOE＝角AFE＝130度、角OEF＝角OAF＝50度」、ひし形BCDOにおいて「角BOD＝角BCD＝100度、角CDO＝角OBC＝80度」。
ひし形の辺の長さは全て等しいことと、問題の条件「BC＝CD＝DE＝EF＝FA」から、「AO＝BO」。

ひし形（平行四辺形）の対角は等しい（ピンクの角度を追加）

　よって、「角AOB＝360－（角AOE＋角BOD＋角DOE）＝360－（130＋100＋60）＝360－290＝70（度）」。「AO＝BO」から三角形OABは辺ABを底辺とする二等辺三角形なので、「角OAB＝角OBA」。よって、「角OAB＋角OBA＋角AOB＝180」より、「2×角OAB＋70＝180」で、これを解くと「角OAB＝55度」となります。

三角形OABは「AO＝BO」の二等辺三角形（オレンジの角度を追加）

　以上から、角xの値は「角x＝角OAB＋角OAF＝55＋50＝105度」となります。

どのように発想すればいいのか？

　作問者のポテト一郎さんにどのように考えたらいいのか話を聞いたところ、まずは「この問題の場合、等しい辺の長さが5カ所あります。このままだと、六角形なので等しい辺が利用できません。そのため、等しい辺がある三角形や四角形を利用することで、等しい辺の長さを別の場所に移してあげることを考えます」との回答が。

　続いて、「三角形だと正三角形や二等辺三角形、四角形だと、正方形や長方形、平行四辺形、ひし形、等脚台形、たこ型などが利用できます。その中でも、難角問題で活躍するのが正三角形です。この問題では、正三角形を1つ作ると見通しがよくなります。（正三角形の辺が六角形の2辺と平行になるように値を設定してあります。）あとはひし形が作れることに気付けば解答にたどりつけると思います」と話してくれました。

　なお、「難角問題と呼ばれる角度の難問では、正三角形がよく利用されます。ラングレーの問題が有名です。また正五角形もよく利用されます。ただ、正五角形を利用した問題は難易度が高くなってしまうので、それなりに得意な方向けの問題になってしまいます」とのことです。

　今回の問題についてポテト一郎さんは「パズル的な解法に誘導できる問題なので、解けるとかなり気持ちがいい問題だと思います」とコメントしています。