abcdef＝a＋b＋c＋d＋e＋fを満たす自然数a〜fの組は何通り？ シンプルなのにめちゃくちゃ難しい……難関大学レベルの数学に挑戦！（7/8 ページ）

[PASS LABO，ねとらぼ]

問題

一見簡単そうだけど……

解答

a≦b≦c≦d≦e≦fとおく（条件1）。

a≧2のとき、「abcdef＝a＋b＋c＋d＋e＋f」について

• （左辺の最小値）＝2bcdef＝32f
• （右辺の最大値）＝6f

より、「（左辺の最小値）＞（右辺の最大値）」となるので、a≧2でないことが示された。

よって、aは自然数なのでa＝1。

同様にして、b＝1、c＝1。

d＝1のとき、式は「ef＝e＋f＋4」すなわち「（e−1）（f−1）＝5」となるため、「e＝2,f＝6」。

d＝2のとき、式は「2ef＝e＋f＋5」すなわち「（2e−1）（2f−1）＝11」となるため、「e＝1,f＝6」。しかし、これは条件1に反するため不適。

d＝3のとき、「（左辺の最小値）−（右辺の最大値）＝9f−（3f＋3）＝6f−3＞0（f≧e≧d≧3より）」から「（左辺の最小値）＞（右辺の最大値）」となるので、d≧3でないことが示された。

よって、条件1のとき（a,b,c,d,e,f）＝（1,1,1,1,2,6）。

ゆえに、求める（a,b,c,d,e,f）の組み合わせは（1,1,1,1,2,6）を並び替えた₆P₂、すなわち30通り。