「a^2+b^2＝1224」となる自然数a,bを求めよ シンプルなのにめちゃくちゃ難しい…… 難関大学レベルの数学に挑戦！（7/8 ページ）

[PASS LABO，ねとらぼ]

問題

一見簡単そうだけど……

解答

　両辺のそれぞれを、3で割った余りで分類して考える。

　自然数aは、負でない整数kを用いて「3k,3k+1,3k+2」のいずれかの形で表せる。このとき、a²は負でない整数mを用いて、「3m,3m+1」のいずれかの形で表せる。（3で割った余りが0のものは3k、3で割った余りが1のものは3k+1…のように分類している）

　同様に自然数bに対しても、負でない整数lを用いて「3l,3l+1,3l+2」のいずれかの形で表せる。このとき、b²は負でない整数nを用いて、「3n,3n+1」のいずれかの形で表せる。

　一方で、1224は3の倍数であるから、3で割った余りは0。これまでの話から、a²、b²を3で割った余りはそれぞれ0か1であることがわかっているので、a²+b²を3で割った余りが0となるためには、a²とb²を3で割った余りは両方0となる必要がある。

　言い換えれば、「a＝3k,b＝3l」（k,lは自然数）と表せることが条件を満たすためには必要ということである。これを問題の式に代入してみると、「k²+l²＝136」という式を導くことができる。

　136は4の倍数であることに注目して、今度は4で割った余りで分類する。先ほどと同様に考えると、「k²,l²」を4で割った余りは0か1のいずれかになることがわかる。条件を満たすには、それぞれの余りが0になる必要がある。

　このとき、「k,l」を4で割った余りは0か2であることに注意すれば、「k,l」は偶数であることがわかるから、負でない整数p,qを用いて、「k＝2p,l＝2q」と表すことができる。これを「k²+l²＝136」に代入して、p²+q²＝34が導かれる。

　これを満たすp,qは5よりも小さい整数であることに注意して値を求めると、「p＝3,q＝5またはp＝5,q＝3」であることがわかり、これによって「k＝6,l＝10またはk＝10,l＝6」であることがわかるので、求める答えは「a＝18,b＝30またはa＝30,b＝18」となる。