三角形AOBの面積を求めよ　中2なら秒で分かるかもしれないクイズ【番外編・中3数学】（2/2 ページ）

» 2023年09月05日 10時30分 公開
[石関隆景，ねとらぼ]
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問題

中2なら秒で分かるかもしれないクイズ 「うおおおおおおおおお！！」（イラスト：野田せいぞ）

答え

　正解は「3/2」でした！

【解説】まずは、点Aと点B（と点O）の座標を求めます。点Aと点Bのx座標は−1と3なので、y座標はそれぞれ「（1/4）×（−1）2＝1/4」と「（1/4）×（3）2＝9/4」。よって、点A、B、Oの座標は以下のようになります。

  • A（−1,1/4）
  • B（3,9/4）
  • O（0,0） ※原点

　さらに、点A・点Bのそれぞれからx軸に下ろした垂線とx軸との交点を点D・点Eとすると、それらの座標は次のようになります。

  • D（−1.0）
  • E（3,0）
中2なら秒で分かるかもしれないクイズ （加工は編集部によるもの）

解法1：三角形AOBを2つに分割

中2なら秒で分かるかもしれないクイズ （加工は編集部によるもの）

　直線ABとy軸の交点をCとすると、三角形AOBの面積は「三角形AOC＋三角形BOC」で表せます。このとき、三角形AOCと三角形BOCは高さがそれぞれ「DO＝1」「EO＝3」と判明しているので、共通する底辺であるCOの長さが分かれば面積を出すことが可能です。そこでCの座標をC（0,b）とすると、底辺の長さはbとなります。

　直線ABの式を求めましょう。直線の傾き（変化の割合）は「yの増加量/xの増加量」で求められるので、直線ABの傾きは「（9/4）−（1/4）/3−（−1）」つまり「1/2」です。よって、このとき直線ABの式は「y＝（1/2）x＋b」と表せ、これに点Aの座標を代入すると「1/4＝（1/2）×（−1）＋b」すなわち「b＝（1/4）＋（1/2）＝3/4」となります。

　したがって、三角形AOBの面積は以下のようになります。

三角形AOB
＝三角形AOC＋三角形BOC
＝（3/4）×1×（1/2）＋（3/4）×3×（1/2）
＝（1＋3）×（3/4）×（1/2）　※分配法則の逆「a×c＋b×c＝（a＋b）×c」を利用
＝4×（3/4）×（1/2）
＝3/2

　

解法2：台形から三角形を除く

中2なら秒で分かるかもしれないクイズ （加工は編集部によるもの）

　三角形AOBの面積は「台形ADEB−（三角形ADO＋三角形BEO）」という式で求めることが出来ます。AD＝1/4,DO＝1,BE＝9/4,EO＝3,DE＝4から、それぞれの面積は次のようになります。

  • 台形ADEB＝（AD＋BE）×DE×（1/2）＝{（1/4）＋（9/4）}×4×（1/2）＝5
  • 三角形ADO＝AD×DO×（1/2）＝（1/4）×1×（1/2）＝1/8
  • 三角形BEO＝BE×EO×（1/2）＝（9/4）×3×（1/2）＝27/8

　よって、三角形AOBの面積は以下のようになります。

三角形AOB
＝台形ADEB−（三角形ADO＋三角形BEO）
＝5−{（1/8）＋（27/8）}
＝5−（7/2）
＝（10/2）−（7/2）
＝3/2

　

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