底面の半径が3センチ、母線が5センチの円すいの表面積を導け 中2なら秒で分かるかもしれないクイズ【数学・空間図形編】（2/2 ページ）

[石関隆景，ねとらぼ]

答え

【解説】円すいの表面積は「底面積＋側面積」で求められます。底面の半径が3なので、底面積は3×3×π＝9π（平方センチ）となります。

　円すいの側面は母線を半径とするおうぎ形です。母線は5センチなので、あとは中心角を求めればOK。そして、これは側面の弧と底面の円周が一致することから求められます。

　側面のおうぎ形の中心核をa度とすると、弧の長さは「5×2×π×（a/360）＝（a/36）π」センチと表せます。一方、底面の円周は「3×2×π＝6π」。これらが等しいので、等式「（a/36）π＝6π」が成り立ちます。これをaについて解くと、「a＝216」となり、側面のおうぎ形の中心核は216度となるので、側面積は「5×5×π×（216/360）＝25π×（3/5）＝15π」平方センチと分かります。

　以上より、表面積は「9π＋15π＝24π」平方センチとなります。

【別解】側面積に関しては、上の中心角を求める考え方から公式を導くことも可能です。底面をr、母線をL、側面の中心角をaとすると、側面の弧の長さは「L×2×π×（a/360）」、底面の円周の長さは「r×2×π」となるので、等式「L×2×π×（a/360）＝r×2×π」が成り立ちます。これにより、「a/360＝r/L」という関係が導けるので、側面積は「L×L×π×（r/L）＝πLr」と表せます。つまり、円すいの側面積は（底面の半径）×（母線）×（円周率）で求められるというわけですね。

　この公式を使えば、問題の円すいの側面積は、「π×5×3＝15π」平方センチとなります。あとは、底面積を足せば上記と同じ答えになります。

　

問題

「円すいの上にも三年……」（イラスト：野田せいぞ）

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