底面の半径が3センチ、母線が5センチの円すいの表面積を導け 中2なら秒で分かるかもしれないクイズ【数学・空間図形編】(2/2 ページ)

» 2022年09月17日 20時00分 公開
[石関隆景ねとらぼ]
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答え

【解説】円すいの表面積は「底面積+側面積」で求められます。底面の半径が3なので、底面積は3×3×π=9π(平方センチ)となります。

 円すいの側面は母線を半径とするおうぎ形です。母線は5センチなので、あとは中心角を求めればOK。そして、これは側面の弧と底面の円周が一致することから求められます。

 側面のおうぎ形の中心核をa度とすると、弧の長さは「5×2×π×(a/360)=(a/36)π」センチと表せます。一方、底面の円周は「3×2×π=6π」。これらが等しいので、等式「(a/36)π=6π」が成り立ちます。これをaについて解くと、「a=216」となり、側面のおうぎ形の中心核は216度となるので、側面積は「5×5×π×(216/360)=25π×(3/5)=15π」平方センチと分かります。

 以上より、表面積は「9π+15π=24π」平方センチとなります。

【別解】側面積に関しては、上の中心角を求める考え方から公式を導くことも可能です。底面をr、母線をL、側面の中心角をaとすると、側面の弧の長さは「L×2×π×(a/360)」、底面の円周の長さは「r×2×π」となるので、等式「L×2×π×(a/360)=r×2×π」が成り立ちます。これにより、「a/360=r/L」という関係が導けるので、側面積は「L×L×π×(r/L)=πLr」と表せます。つまり、円すいの側面積は(底面の半径)×(母線)×(円周率)で求められるというわけですね。

 この公式を使えば、問題の円すいの側面積は、「π×5×3=15π」平方センチとなります。あとは、底面積を足せば上記と同じ答えになります。

 

問題

中2なら秒で分かるかもしれないクイズ 「円すいの上にも三年……」(イラスト:野田せいぞ

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