実数a,bが「a^2＋b^2＝2（a+b）」を満たすとき、「a^3＋b^3」の取りうる値の範囲を求めよ　シンプルなのにめちゃくちゃ難しい……　難関大学レベルの数学に挑戦！（8/8 ページ）

» 2023年11月24日 20時05分 公開
[PASS LABO，ねとらぼ]
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PASS LABO 大学受験数学　東京大学（東大）　京都大学（京大）　一橋大学　整数問題 一見簡単そうだけど……

対称式だけの形に与式を変形してみる

　a＋b,abは対称式（2つ以上の文字を入れ替えても成立する式）といいます。今回のような対称式が使えそうな問題では、まずは式を対称式だけの形に変形してみましょう。

　a3＋b3は「（a+b）3-3ab（a+b）」と変形できます。そこで、s＝a＋b,t＝abとおくと、a3＋b3＝s3-3stとなります。

　また、「2ab＝（a+b）2−（a2＋b2）」であり、条件から「a2＋b2＝2（a+b）」なので、「2t＝s2−2s」が成り立つことから、「t＝1/2s2−s」が導けます。

　よって、a3＋b3は「s3-3st＝s3-3s（1/2s2−s）＝−1/2s3＋3s2」とsの3次関数の形で表すことが可能です。

　あとは、sの範囲を出し、3次関数の取りうる範囲を求めればよいということになります。

対称式→解と係数の関係！

　対称式を見たら、2次方程式の解と係数の関係を思い出すようにしましょう。

　解と係数の関係とは、2次方程式「ax2＋bx＋c＝0」に対して、その解をα,βとすると「α＋β＝−b/a,αβ＝c/a」を満たすというものです。このことは2次方程式の解の公式（関連記事）を知っていれば簡単に確認できます。

　解の公式から、2つの解α,βの組み合わせは、「（−b＋√b2−4ac）/2a」「（−b−√b2−4ac）/2a」となるので、以下の計算が成り立つというわけですね。

  • α＋β＝（−b−b）/2a＝−b/a
  • αβ＝｛b2−（b2−4ac）｝/4a2＝c/a

　よって、今回はa＋b＝s,ab＝tとおくことで、解と係数の関係の逆を利用して、a,bを解とする2次方程式「x2−sx＋t＝0」が導けます。条件よりa,bは実数なので、この2次方程式は実数解を持つことになりますから、判別式を利用することでsの範囲を求めることができるのです。

　なお、判別式とは2次方程式の解の公式「x＝（−b±√b2−4ac）/2a」（関連記事）の「√b2−4ac」に着目したもの。Dが0以上であれば、方程式は実数解を持ちますが、Dが0より小さい場合には「√b2−4ac」は虚数になり、方程式は実数解を持ちません。

　今回は実数解をもつので「D≧0」であり、「t＝1/2s2−s」より判別式は「D＝s2−4t＝（1/2s2−s）＝−s2＋4s＝−s（s−4）」となるので、求めるsの範囲は「−s（s−4）≧0」すなわち「s（s−4）≦0」から、0≦s≦4となります。

3次関数の取りうる範囲を求める

　最後に、3次関数「f（s）＝−1/2s3＋3s2」の取りうる範囲を求めましょう。これを微分すると、「f'（s）＝−3/2s2＋6s＝＝−3/2s（s−4）」となりますが、実数条件を求めた際、s（s−4）≦0ということを確認したので、f'（s）≧0になると分かります。

　よって、f（s）は0≦s≦4の範囲において単調増加となるので、s＝0のときの値が最小値でs＝4のときの値が最大値となります。よって、3次関数f（s）の範囲は、f（0）≦f（s）≦f（4）すなわち、0≦f（s）≦16となるので、求める範囲は「0≦a3＋b3≦16」です。

この問題の解説動画

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