実数a,bが「a^2+b^2=2(a+b)」を満たすとき、「a^3+b^3」の取りうる値の範囲を求めよ シンプルなのにめちゃくちゃ難しい…… 難関大学レベルの数学に挑戦!(8/8 ページ)
対称式だけの形に与式を変形してみる
a+b,abは対称式(2つ以上の文字を入れ替えても成立する式)といいます。今回のような対称式が使えそうな問題では、まずは式を対称式だけの形に変形してみましょう。
a3+b3は「(a+b)3-3ab(a+b)」と変形できます。そこで、s=a+b,t=abとおくと、a3+b3=s3-3stとなります。
また、「2ab=(a+b)2−(a2+b2)」であり、条件から「a2+b2=2(a+b)」なので、「2t=s2−2s」が成り立つことから、「t=1/2s2−s」が導けます。
よって、a3+b3は「s3-3st=s3-3s(1/2s2−s)=−1/2s3+3s2」とsの3次関数の形で表すことが可能です。
あとは、sの範囲を出し、3次関数の取りうる範囲を求めればよいということになります。
対称式→解と係数の関係!
対称式を見たら、2次方程式の解と係数の関係を思い出すようにしましょう。
解と係数の関係とは、2次方程式「ax2+bx+c=0」に対して、その解をα,βとすると「α+β=−b/a,αβ=c/a」を満たすというものです。このことは2次方程式の解の公式(関連記事)を知っていれば簡単に確認できます。
解の公式から、2つの解α,βの組み合わせは、「(−b+√b2−4ac)/2a」「(−b−√b2−4ac)/2a」となるので、以下の計算が成り立つというわけですね。
- α+β=(−b−b)/2a=−b/a
- αβ={b2−(b2−4ac)}/4a2=c/a
よって、今回はa+b=s,ab=tとおくことで、解と係数の関係の逆を利用して、a,bを解とする2次方程式「x2−sx+t=0」が導けます。条件よりa,bは実数なので、この2次方程式は実数解を持つことになりますから、判別式を利用することでsの範囲を求めることができるのです。
なお、判別式とは2次方程式の解の公式「x=(−b±√b2−4ac)/2a」(関連記事)の「√b2−4ac」に着目したもの。Dが0以上であれば、方程式は実数解を持ちますが、Dが0より小さい場合には「√b2−4ac」は虚数になり、方程式は実数解を持ちません。
今回は実数解をもつので「D≧0」であり、「t=1/2s2−s」より判別式は「D=s2−4t=(1/2s2−s)=−s2+4s=−s(s−4)」となるので、求めるsの範囲は「−s(s−4)≧0」すなわち「s(s−4)≦0」から、0≦s≦4となります。
3次関数の取りうる範囲を求める
最後に、3次関数「f(s)=−1/2s3+3s2」の取りうる範囲を求めましょう。これを微分すると、「f'(s)=−3/2s2+6s==−3/2s(s−4)」となりますが、実数条件を求めた際、s(s−4)≦0ということを確認したので、f'(s)≧0になると分かります。
よって、f(s)は0≦s≦4の範囲において単調増加となるので、s=0のときの値が最小値でs=4のときの値が最大値となります。よって、3次関数f(s)の範囲は、f(0)≦f(s)≦f(4)すなわち、0≦f(s)≦16となるので、求める範囲は「0≦a3+b3≦16」です。
PASS LABOの大学受験数学問題
おすすめ記事
関連記事
「a^2+b^2+c^2=292」を満たす自然数a,b,cを求めよ シンプルなのにめちゃくちゃ難しい…… 難関大学レベルの数学に挑戦!
整数問題は奥が深い。「a^2+b^2=1224」となる自然数a,bを求めよ シンプルなのにめちゃくちゃ難しい…… 難関大学レベルの数学に挑戦!
整数問題は奥が深い。abcdef=a+b+c+d+e+fを満たす自然数a〜fの組は何通り? シンプルなのにめちゃくちゃ難しい……難関大学レベルの数学に挑戦!
整数問題は奥が深い。式が“素数”となる整数aの値は? シンプルなのにめちゃくちゃ難しい…… 難関大学レベルの数学に挑戦!
整数問題は奥が深い。三角形の内角の和はどうして180度なの? 中2なら秒で分かるかもしれないクイズ【数学・図形の性質】
大人になって解いてみると、意外と難しい。
Copyright © ITmedia, Inc. All Rights Reserved.
パパに抱っこされる娘、13年後の成人式に同じ場所とポーズで再現したら…… 「お父さん若返った?笑」「時止まってる」2人の姿に驚き
海釣り中、黒猫に「ちょっと来い」と呼び出された釣り人 → 付いて行くと…… 運命のような保護から2年、飼い主に話を聞いた
古いバスタオルをザクザク切って縫い付けると…… 目からウロコの再利用に「すてきなアイデア」【海外】
北海道の“雪のヤバさ”が伝わる写真に460万表示の反響 衝撃的な光景に「何かの冗談でしょ?」「見たことない景色」
1歳赤ちゃん、大好きなおばあちゃんがサプライズ登場すると…… 涙が出そうになる反応に「ひいいい!ヤバい」「最後しゃべってない?」
理容師に「53歳?」と聞かれた30代男性、思い切ってイメチェンしたら…… 「おじいちゃんからパパに」「めっちゃハンサム」と大好評の16万いいね
スーパーで売れ残った瀕死のケガニを水槽に入れたら……翌日、まさかの展開 胸を打つ光景に「鳥肌立った」「泣きそう」
着陸する戦闘機を撮ったはずが…… タイミングが絶妙すぎる1枚に「一部の専門家には貴重な一枚」 投稿者に話を聞いた
92歳じいちゃんに、生後3カ月の赤ちゃん柴犬を会わせたら…… 家族みんな涙を流して大爆笑の展開に「どっちも可愛い」「いいなーww」
92歳おばあちゃん、朝食とその後をのぞくと…… 「すごすぎる」「度肝を抜かれました」日課に驚きの声
- 【ハンドメイド】余った布が大変身! 捨てるのがもったいなくなる活用法に「天才じゃないですか!」「素敵なアイデア」
- 高校生のときに出会った“同級生カップル”→「親に頼らん!」と必死に貯金して…… 19年後、現在の姿に反響
- 岡田紗佳、一連の騒動を生中継で謝罪 頭を深く下げ「申し訳ございませんでした」
- 庭に置かれた“普通の物置” → DIYで“まさかの姿”に大変貌 「え?物置ですか?」「すごすぎ」
- “部屋が汚すぎて”彼氏に振られた女性→1人孤独に片付けを続け、600日後…… まさかの光景に「感動しました」
- 「許されると思ってんの?」 スマホのアラームを設定→翌朝…… “絶望の通知内容”が430万表示 「ほんとこれ」
- 一般家庭で暮らすワニ、“ご飯だよ”の合図を聞いた瞬間 400万再生の予想外すぎる顔に「温室育ちの純粋な目をしてて草」
- 普通の折り紙1枚を、パタパタ折っていくと…… プレゼントにぴったりな美しいアイテム完成に「すげぇつくりたい」「かわいい」
- クルマのドアが開かない……! 車内から緊急脱出する“驚きの方法”に目からウロコ 「貴重な情報」「良い知識」
- 大人なら5秒で解きたい!「9+0÷2−3」の答えは?【算数クイズ】
- ドブで捕獲したザリガニを“清らかな天然水”で2週間育てたら…… 「こりゃすごい」興味深い結末が195万再生「初めて見た」
- 「配慮が足りない」 映画の入場特典で「おみくじ」配布→“大凶”も…… 指摘受け配給元謝罪「深くお詫び」
- 母「昔は何十人もの男性の誘いを断った」→娘は疑っていたが…… 当時の“モテ必至の姿”が1170万再生「なんてこった!」【海外】
- 風呂に入ろうとしたら…… 子どもから“超高難易度ミッション”が課されていた父に笑いと同情 「父さんはどのようにしてこのお風呂に入るのか」
- 母親から届いた「もち」の仕送り方法が秀逸 まさかの梱包アイデアに「この発想は無かった」と称賛 投稿者にその後を聞いた
- 市役所で手続き中、急に笑い出した職員→何かと思って横を見たら…… 衝撃の光景が340万表示 飼い主にその後を聞いた
- 「ごめん母さん。塩20キロ届く」LINEで謝罪 → お母さんからの返信が「最高」「まじで好きw」と話題に
- DIYで室温が約10℃変わった「トイレの寒さ対策」が310万再生 コスパ最強のアイデアへ「天才!」「これすごくいい」
- 「こんなおばあちゃん憧れ」 80代女性が1週間分の晩ご飯を作り置き “まねしたくなるレシピ”に感嘆「同じものを繰り返していたので助かる」
- 岡田紗佳、生配信での発言を謝罪 「とても不快」「暴言だと思う」「残念すぎ」と物議