「a^2+b^2＝1224」となる自然数a,bを求めよ　シンプルなのにめちゃくちゃ難しい……　難関大学レベルの数学に挑戦！（8/8 ページ）

» 2023年08月31日 20時05分公開

[PASS LABO，ねとらぼ]

解説

$PASS LABO 大学受験数学　東京大学（東大）　京都大学（京大）　一橋大学　整数問題$ 一見簡単そうだけど……

　「a²+b²=1224」という式を見ると、式の変形などを使って絞り込みなどをしたくなります。しかし、「a²＝1224－b²」と変形しても、1224は平方数ではないので因数分解はできなさそうです。では、一体どうすればいいのか。ここでは「両辺の余りが一致する」という「＝（等号）」の性質を利用して解いていくことにしましょう。

　まずは、1224を素因数分解します。「1224＝2³×3²×17」より、1224は偶数であり、3の倍数であり、4の倍数であると分かります。ここでは3の倍数であるということを利用して3で割った余りについて考えていきましょう。なぜか「3」なのか。それは、整数の2乗を3で割った余りが非常に特徴的だからです。

　整数を3で割った余りは、0か1か2のいずれかになります。よって、自然数aは負でない整数kを用いて「3k,3k＋1,3k＋2」（k=0のときは3kは満たさない）と表せます。このとき、a²について計算してみましょう。

a＝3kの場合：a²＝（3k）²＝3²×k²＝9k²＝3×3k²＝3m（3k²=mとおいた）
a＝3k＋1の場合：a²＝（3k+1）²＝（3k）²＋2×3k×1＋1²＝9k²+6k+1＝3×（3k²＋2k）＋1＝3m+1（3k²+2k＝mとおいた）
a＝3k＋2の場合：a²＝（3k+2）²＝（3k）²＋2×3k×2＋2²＝9k²+12k+4＝3×（3k²＋4k＋1）＋1＝3m+1（3k²+4k+1＝mとおいた）

　以上から、a²を3で割った余りは0または1になると分かりました。b²についても同様に3で割った余りは0または1になるので、左辺「a²+b²」の余りの組み合わせ（aを3で割った余り,bを3で割った余り）は次のようになります。

（0,0）の場合：「a²+b²」を3で割った余りは0
（0,1）（1,0）の場合：「a²+b²」を3で割った余りは1
（1,1）の場合：「a²+b²」を3で割った余りは2

　よって、等号が成立するのは（0,0）すなわちaもbも3で割り切れる場合だと判明。「a＝3k,b＝3l」（k,lは自然数）とすると、式は次のようになります。

a²+b²＝1224
（3k）²+（3l）²＝1224
9k²+9l²＝9×2³×17
k²+l²＝136

　さて、ここで新たに「k²+l²＝136」という式が導かれたわけですが、ここからどう絞ればいいのでしょうか。

　136を素因数分解すると「136＝2³×17」となります。つまり、4の倍数ということですね。先ほどと同じように整数の2乗を4で割った余りを見ていくことにしましょう。

　整数を4で割った余りは0または1または2または3のいずれかになります。よって、自然数kは負でない整数pを使って「4s,4s＋1,4s＋2,4s＋3」（s＝0のとき4sは満たさない）と表せます。このとき、k²について計算したのが以下です。

k＝4sの場合：k²＝（4s）²＝4²×s²＝16s²＝4×4s²＝3t（3s²=tとおいた）
k＝4s＋1の場合：k²＝（4s+1）²＝（4s）²＋2×4s×1＋1²＝16s²+8s+1＝4×（4s²＋2s）＋1＝4t+1（4s²+2s＝tとおいた）
k＝4s＋2の場合：k²＝（4s+2）²＝（4s）²＋2×4s×2＋2²＝16s²+16s+4＝4×（4s²＋4s＋1）＝4t（4s²+4s+1＝tとおいた）
k＝4s＋3の場合：k²＝（4s+3）²＝（4s）²＋2×4s×3＋3²＝16s²+24s+9＝4×（4s²＋6k＋2）＋1＝4t+1（4s²＋6k＋2＝tとおいた）

　この結果をまとめると、kが「4t,4t＋2」のときk²は4で割り切れ、kが「4t＋1,4t＋3」のときk²は4で割った余りが1になると分かります。136は4の倍数なので、「4t,4t＋2」のときが適しているのですが、さらにこれをまとめると、要はkが偶数のとき等号が成立するのだと分かります。lについても同様です。

　したがって、「k＝2p,l＝2q」（p,qは自然数）と置くと、式は次のようになります。