「ククク……無量大数などわれらの中では最小……」 全世界のインクを使っても書けない「巨大数」の世界

クラクラしてくる。

» 2018年01月22日 11時00分 公開
[QuizKnockねとらぼ]

 いきなりですが問題です。この中で一番大きい数はどれでしょう?

  • 1不可説不可説転
  • 3↑↑↑↑3
  • グラハム数

 「何のこっちゃ?」という感じですよね。

 正解は「グラハム数」。

 グラハム数はギネスブックに載っている「証明に使われた中で最も大きい数」です。数の大きさには限りがありませんが、「考察の対象になった数」として記録になっているわけです。

 さて、このグラハム数はどれくらい大きいのでしょうか。

無量大数、不可説不可説転、グーゴルプレックス

 大きな数といえば、まず「無量大数」はご存じでしょうか?

 漢字文化圏では数の単位は4けたごとに変わっていきます。万、億、兆、京、垓、……という感じです。名前がついている中でもっとも大きいのは無量大数で、真面目に表記すると一無量大数は1000……と、0が68個続きます。これくらい大きくなると指数表記を使って、10の68乗と書くのが普通なので、無量大数という言葉を使うことはめったにありません。

 10の68乗といってもなかなか想像できないので、比較するためにWikipediaの数の比較の記事を参照してみました。それによると、

  • 世界の海岸の砂粒の数の合計:10の23乗(1000垓)
  • 人体を構成する原子の数:10の27乗(1000𥝱)
  • 地球に存在する全生物の数:10の33乗(10溝)
  • 地球上に存在する水分子の個数:10の47乗(1000載)
  • 宇宙に存在する全ての基本粒子の個数:10の80乗

 だそうです。大きすぎてピンと来ない……。

宇宙にある基本粒子は10の80乗個。まさに天文学的な数

 筆者は小学生のころ、「どちらが大きな数をいえるか」という勝負をしたことがあります。今となっては無意味な争いですが、当時は無量大数より大きな数を知らなかったので、「1無量大数1」などしかいえませんでした。

 しかし、仏典の華厳経には無量大数とは比べものにならない大きな数が登場します。それは不可説不可説転というものです。なんだか面白い名前ですがその定義は、

  • 1不可説不可説転=10の37218383881977644441306597687849648128乗

 です。10の肩に乗っている指数が38桁もあるのです。現実世界にこんなに大きな数は存在しないので、完全に想像上の産物ですね。

 しかしもっと大きいグーゴルプレックスという数があって、その定義は、

  • 1グーゴルプレックス=10の(10の100乗)乗

 です。10の肩に乗っている指数部分が101桁もあり、「宇宙にある物質全てをインクに変えても書ききれないほどの巨大数」なんていわれることもあります。

 余談ですが、アメリカのGoogle社の本社はGoogleplexという愛称がありますが、これはグーゴルプレックスにちなみます(そもそもGoogleという社名自体グーゴルが由来だそうです)。

無量大数が小さく見える不可説不可説転
「無量大数が小さく見える不可説不可説転」よりもはるかに巨大なグーゴルプレックス

クヌースの矢印表記

 無量大数よりも、不可説不可説転よりも大きいグーゴルプレックスだって、指数表記を重ねることで書き表すことができます。しかし、指数表記では表現できないような数字が書ける「クヌースの矢印表記(タワー表記)」というものもあります。

たった数本の矢印がものすごい大きな数字を生み出す。それがクヌースの矢印表記

 指数表記では3×3×3×3(=81)を3の4乗と書きます。同じことを、クヌースの矢印表記では、

  • 3↑4

 と書きます。これだけでは、指数表記を矢印に変えただけですが、矢印表記はさらに大きな数を表すことができます。

  • 3↑3↑3

 は、3の(3の3乗)乗=3の27乗=7625597484987を表します。矢印が1つ増えただけなのに急激に大きくなりました。

 「3↑3↑3」は「3↑↑3」と書くことも可能。矢印を2重にした「↑↑」は、指数計算の反復を表しており、このように使えます。

  • 3↑↑3=3↑3↑3=7625597484987
  • 3↑↑4=3↑3↑3↑3=3の7625597484987乗
  • 3↑↑5=3↑3↑3↑3↑3=3の(3の7625597484987乗)乗

 「↑↑↑」と矢印を3重にすると、「『指数計算を反復する2重矢印』の反復」ができます。このあたりから、指数表記では書けなくなります。

  • 4↑↑↑2=4↑↑4
  • 4↑↑↑3=4↑↑4↑↑4
  • 4↑↑↑4=4↑↑4↑↑4↑↑4

 矢印はいくつでも増やすことができ、「4↑↑↑…↑↑↑4(↑がn個続く)」を「4↑n4」と表記します。

グラハム数

 ようやく最初に出てきたグラハム数の説明に移れます。

 まずは、クヌースの矢印表記の「3↑↑↑↑3」を考えてみましょう。矢印が4つあるので「『指数計算を反復する2重矢印』を反復する3重矢印を反復」します。

  • 3↑↑↑↑3=3↑↑↑3↑↑↑3

 「3↑↑↑3=3↑↑7625597484987」であることから、次のように表すこともできます。

  • 3↑↑↑↑3=3↑↑↑(3↑↑7625597484987)

 もはや訳が分からないことになっていますが、この「3↑↑↑↑3」の数だけ矢印がある数字を考えてみましょう。

  • 3↑n3(ただし、n=3↑↑↑↑3)

 この「3↑n3」の数だけ矢印がある数字を考えてみましょう。

  • 3↑m3(ただし、m=3↑n3、n=3↑↑↑↑3)

 さらに、この「3↑m3」の数だけ矢印がある数字を考えてみましょう。

  • 3↑k3(ただし、k=3↑m3、m=3↑n3、n=3↑↑↑↑3)

 ……と、こんな具合に、できた数の本数の矢印を使って、さらに大きな数を作るという作業を64回繰り返したものがグラハム数です。

 ちなみに、グラハム数は1970年にアメリカの数学者グラハムが、「ラムゼー理論」という分野の未解決問題を解く際に、「この問題の答えはこの数(グラハム数)より小さい」という形で使いました。

 現在、この問題の答えはもっと小さいことが証明されてはいるものの、正確な値は未解決のままです。

制作協力

QuizKnock


Copyright © ITmedia, Inc. All Rights Reserved.

昨日の総合アクセスTOP10
  1. /nl/articles/2403/17/news022.jpg 【追記あり】夫に「油買ってきて」と頼んだのに、手ぶらで帰宅した理由はまさかの…… とんでもないオチに「やめてww」「久しぶりに大爆笑」
  2. /nl/articles/2403/18/news022.jpg 1歳息子の“はじめての寝落ち”が140万再生 10歳兄のやさしい行動に「なにこの平和でかわいい世界」「最高に癒やされる」と絶賛の声
  3. /nl/articles/2403/17/news063.jpg 「予言者いた」「先見の明」 大谷翔平選手&真美子さんの結婚を2021年時点で予言(?)している投稿が発掘され話題に
  4. /nl/articles/2403/17/news047.jpg 北海道内の移動距離を本州と比較したら…… 感覚がバグるマップ画像に「これが北海道」「大きすぎる」
  5. /nl/articles/2403/18/news042.jpg 生後1カ月の赤ちゃん「ぼく泣かないもんねっ」 うるうるおめめとへの字口が「はぁ〜たまらん!」「ぐぁぁああああっっ」取り乱すほどかわいい
  6. /nl/articles/2403/15/news126.jpg 「一番イチャイチャしているように見える」 大谷選手が公開した写真でドジャース山本由伸選手の“手つなぎ”?が話題に 「そっちに目が行く」
  7. /nl/articles/2312/29/news019.jpg 「妻の服を勝手に着て脱げなくなったムキムキ夫とデカワンコ」に爆笑の嵐 シュールすぎる状況が500万表示突破
  8. /nl/articles/2403/18/news025.jpg “おしりが5日で変わる”トレーニング! 「明日からやるか」「1日1回だけなら続けられる」と累計3000万再生突破
  9. /nl/articles/2403/18/news056.jpg 大好きなボールを100個プレゼントされたときのワンコの表情に「放心ww」「引いてない?」 直視できない姿がSNSで話題
  10. /nl/articles/2403/18/news064.jpg 赤ちゃんが妙に静かだと思ったら…… 思わぬものへの“真剣モード”に笑顔になる人続出「たれたもちもちほっぺたまらん!」
先週の総合アクセスTOP10
  1. 水道検針員から直筆の手紙、驚き確認すると…… メーターボックスで起きた珍事が300万再生「これはびっくり」「生命の逞しさ」
  2. 昭和時代に“無かった物”が写っている……? 細かすぎて伝わらない「未来から来たことがバレた写真」に6万いいね
  3. 「マジで汚い」「こんなもんです」 辻希美、“大散乱”のリビングと“新”キッチンの差を公開し共感の声集まる
  4. 双子の赤ちゃん、姉が全力でくしゃみして…… 被害にあった妹の反応に「生後3ヶ月でドリフのコントw」「めちゃどっちもカワイイ」と絶賛の声
  5. 「よくも病院に連れてきたな……」とにらむ猫、先生が来た瞬間 驚きの変貌に爆笑の声「これがほんとの猫かぶり」
  6. 急に片耳がたれたワンコ、慌てて病院にいった結果…… 「こんな可愛い診断結果初めて見たよw」「笑っちゃった」と反響
  7. 「何羽いる?」一見普通の“草むら”、よく見ると……? 思わず絶叫まちがいなしの1枚に「どっさりいるw」「まさに迷彩!」
  8. 店員に「この子は懐きませんよ」と言われたチンチラ、家に来て3日後…… 人を信じる姿に「愛が伝わったんですね」
  9. 元SDN48光上せあら、目を離した隙に……子どもが商品を触り“全買取” 「子連れママに厳しすぎないか?」
  10. 柴犬を子どものように育てた結果、人間みたいな行動をするようになった 何気ない幸せな日常に「完全に家族の一員」「全部が愛くるしい」
先月の総合アクセスTOP10
  1. 釣れたキジハタを1年飼ってみると…… 飼い主も驚きの姿に「もはや、魚じゃない」「もう家族やね」と反響
  2. パーカーをガバッとまくり上げて…… 女性インフルエンサー、台湾でボディーライン晒す 上半身露出で物議 「羞恥心どこに置いてきたん?」
  3. “TikTokはエロの宝庫だ” 女性インフルエンサー、水着姿晒した雑誌表紙に苦言 「なんですか? これ?」
  4. 1歳妹を溺愛する18歳兄、しかし妹のひと言に表情が一変「ちがうなぁ!?」 ママも笑っちゃうオチに「かわいいし天才笑」「何度も見ちゃう」
  5. 8歳兄が0歳赤ちゃんを寝かしつけ→2年後の現在は…… 尊く涙が出そうな光景に「可愛すぎる兄妹」「本当に優しい」
  6. 1人遊びに夢中な0歳赤ちゃん、ママの視線に気付いた瞬間…… 100点満点のリアクションにキュン「かわいすぎて鼻血出そう!」
  7. 67歳マダムの「ユニクロ・緑のヒートテック重ね着術」に「色の合わせ方が神すぎる」と称賛 センス抜群の着こなしが参考になる
  8. “双子モデル”りんか&あんな、成長した姿に驚きの声 近影に「こんなにおっきくなって」「ちょっと見ないうちに」
  9. 犬が同じ場所で2年間、トイレをし続けた結果…… 笑っちゃうほど様変わりした光景が379万表示「そこだけボッ!ってw」
  10. 新幹線で「高級ウイスキー」を注文→“予想外のサイズ”に仰天 「むしろすげえ」「家に飾りたい」